Baca Juga
Matematika Ekonomi Vs Nonmatematika
Pada dasarnya Matematika ekonomi dan nonmatematika ekonomi tidak mempunyai perbedaan, namun dalam matematika ekonomi kesimpulan dinyatakan dalam symbol bukan kata – kata sedangkan nonmatematika banyak digunakan dalil – dalil matematis dalam suatu proses pembuatan. Manfaat dari matematika ekonomi yaitu dapat memberikan pengetahuan, wawasan dan kemampuan dalam memanfaatkan teori atau konsep matematika analisis. Memudahkan dalam menghitung indikator dan prediksi ekonomi dan mendorong kita untuk menyatakan asumsi – asumsi secara jelas.
Matematika Ekonomi Vs Ekonometrika
Secara sederhana matematika ekonomi dan ekonometrika yaitu didalam pengukuran data ekonomi, ekonomika berhubungan dengan pembahasan tentang observasi menggunakan estimasi dengan metode statistic dan pengujian hipotesis. Sedangkan matematika ekonomi membahas penerapan matematis pada aspek teoritis murni dari analisis ekonomi.
Model – Model Ekonomi
Unsur – Unsur dalam Model Matematis
Variabel, Konstanta dan Parameter
Variabel adalah sesuatu yang besarnya dapat berubah, misalnya sesuatu yang dapat menerima nilai yang berbeda. Variabel yang sering digunakan dalam ilmu ekonomi adalah harga, laba, pendapatan,biaya, pendapatan nasional, konsumsi,investasi, import, dan eksport. Kita dapat menyatakan harga dengan simbol P laba dengan , pendapatan dengan R, biayan dengan C, pendapatan nasional dengan Y dan seterusnya. Konstanta adalah besaran yang tidak berubah, sehingga merupakan lawan dari variabel. Jika semua konstanta digabung dengan variabel, maka angka itu sering disebut dengan koefisien variabel tersebut, koefisien lebih merupakan symbol ketimbang sebagai angka. Untuk mengidentikasi kedudukannya yang khusus kita beri nama tersendiri, yaitu konstanta parametric (parameter). Perlu ditekankan meskipun nilai yang berbeda pada suatu parameter, nilai itu dapat dinggap sebagai data dalam suatu model. Karena alasan inilai orang mudah menggunakan “konstanta” meskipun konstanta tersebut adalah parameter. Konstanta parametric biasanya dinyatakan dengan symbol a, b, c dalam abjad Yunani , , .
Persamaan dan Identitas
Dalam penerapan ekonomi dibedakan 3 macam persamaan yaitu persamaaan definisi (defininonal equation), persamaan perilaku (behafioral equation) dan persamaan bersyarat (conditional equitions).
Persamaan perilaku menunjukkan perilaku suatu variabel sebagai tanggapan terhadap perubahan variabel lainnya secara umum persamaan perilaku untuk menjelaskan lingkungan kelembangaan dari suatu model termasuk teknologi (misalnya fungsi produksi) dan aspek – aspek hukum (misalnya struktur pajak).
Perhatikan kedua fungsi biaya dibawah ini :
C = 75 + 10Q
C = 110 = Q2
Dimana Q menunjukkan jumlah output, kedua persamaan mempunyai bentuk yang berbeda, maka masing – masing kondisi produksi yang diasumsikan jelas berbeda.
Persamaan bentuk ketiga adalah persamaan yang menyatakan persyaratan yang harus dipenuhi misalnya, dalam model yang melibatkan konsep “ekuilibrium” yang menggambarkan persyaratan untuk pencapaian ekuilibrium. Dua syarat ekuilibrium yang paling terkenal dalam ilmu ekonomi adalah :
Qd = Qs jumlah yang diminta = jumlah yang ditawarkan
dan S = I tabungan yang diharapkan = investasi yang diharapkan
Yang masing – masing membahas ekuilibrium model pasar dan ekuilibrium model pendapatan nasional dalam bentuk yang paling sederhana. Demikian juga, suatu model optimasi akan mengambil atau menggunakan satu atau lebih syarat optimisasi.
Sistem Bilangan Nyata
Variabel – variabel dan persamaan – persamaan merupakan bahan yang penting untuk model matematika, karena nilai – nilai variabel yang digunakan umumnya merupakan angka. Seluruh bilangan seperti 1, 2, 3, . . . disebut bilangan bulat positif, lawannya -1, -2, -3, . . . . . . disebut bilangan bulat negatif. Dilain pihak, bilangan 0 (nol) bukan positif dan negative serta mempunyai arti tersendiri, gabungan seluruh bilangan bulat positif, negative dan 0 kedalam satu golongan yaitu himpunan seluruh bilangan bulat.bilangan bulat tidak menampung semua bilangan, misalnya untuk pecahan 2/3 , 5/4 dan 7/3. Bilangan – bilangan pecahan juga terdapat bilangan pecahan negative, seperti -1/2 dan -2/5 bilangan pecahan ditunjukkan sebagai perbandingan bilangan ini dikelompokkan menjadi himpunan seluruh pecahan. Ciri lain dari bilangan rasional adalah bahwa bilangan itu dapat ditunjukkan sebagai bilangan decimal. Sedangkan bilangan irasional adalah bilangan – bilangan yang tidak dapat ditunjukkan sebagai perbandingan dua bilangan bulat, bilangan decimal tidak berulang dan tidak berakhir ciri dari seluruh bilangan irasional.
Konsep Himpunan
Penulisan Himpunan
Objek – objek dalam suatu himpunan disebut elemen – elemen himpunan ada dua cara lain untuk menulis suatu himpunan yaitu menyebutkan satu persatu S = 2, 3, 4} diartikan S mewakili himpunan ari 3 bialangan 2, 3, an 4 dan dengan gambaran (deskriptif). I = x x bilangan bulat positif } I adalah himpunan seluruh (bilangan – bilangan ) x, demikian rupa sehingga x merupakan bilangan bulat positif. Himpunan seluruh bilangan nyata yang lebih besar dari dua tetapi lebih kecil dari lima (katakanlah J ) dapat dinyatakan dengan symbol J = x 2 x kurang dari 5} Suatu himpunan dengan elemen – elemen bilangan hingga, yang ditunjukkan oleh himpunan s diatas, disebut dengan himpunan hingga (finiteset).
Hubungan dan Fungsi
pembahasan kita mengenai himpunan di dorong oleh penggunaan istilah dalam hubungannya dengan berbagai jenis bilangan dalam sistem bilangan. Pada bagian ini, kita akan membahas mengenai himpunan “pasangan orde” (ordered pairs) yang akan didefinisikan berikut ini yang merupakan konsep penting dalam hubungan dan fungsi.
1. Pasangan Orde
Dalam penulisan suatu himpunan {a,b}, kita tidak perlu menghiraukan orde elemen a dan b, karena menurut definisi {a,b} = {b,a} . pasangan elemen a dan b hal ini merupakan “pasangan tidak orde”. Akan tetapi, jika orde a dan b mempunyai arti, maka kita bisa menulis dalam dua cara pasangan orde yang berbeda, yakni (a,b) dan (b,a), yang berarti (a,b) ≠(b,a) kecuali a=b , pasangan orde , lipat tiga,dan seterusnya yang berurutan secara keseluruhan disebut himpunan orde .
Untuk memperluas pandangan ini, kita juga dapat mendefinisikan hasil-hasil cartesius dari tiga himpunan x,y, dan z seperti berikut ini x x y x z = {(a,b,c) I a £ x, b £ y, c £ z } yang merupakan himpunan orde lipat tiga . selanjutnya, bila himpunan x,y, dan z masing-masing terdiri dari bilangan nyata , hasil kali cartesius akan daat disamakan dengan himpunan seluruh titik-titik dalam ruang tiga dimensi .
2. Hubungan dan Fungsi
Karena setiap pasangan orde menghubungkan nilai y dengan nilai x, maka setiap kumpulan pasangan orde yaitu setiap himpunan bagian hasil kali cartesius (2.3) akan merupakan hubungan di antara y dan x. Dengan nilai x tertentu ,satu atau lebih nilai y akan di tentukan oleh hubungan nilai x tersebut. Dengan kata lain, lebih dari satu nilai x dapat dihubungkan oleh nilai y yang sama. dalam pernyataan y = f (x), penulisan fungsi f dapat di artikan sebagai suatu aturan dimana himpunan x dipetakan (ditransformasikan) kedalam himpunan Y. Karena f menunjukan aturan khusus dalam pemetaan. Dalam fungsi y = f(x) , x merupakan penjelasan ( argumen ) dari fungsi, dan y merupakan nilai dari fungsi tersebut. Alternatif lain adalah x sebagai variabel bebas ( independent variable ) dan y sebagai variabel tidak bebas ( dependent variable ).
Tipe-tipe Fungsi
Ekpresi y = f (x) adalah pernyataan umum sehingga memungkinkan untuk dipetakan atau digambarkan, tetapi sebenarnya aturan untuk memetakan tidaklah begitu jelas.
a. Fungsi Konstan
suatu fungsi yang “range” nya (kisarannya) hanya terdiri dari satu elemen disebut fungsi konstan. Sebagai contoh y = f (x) = 7
menyatakan bahwa y = 7 atau y = f(x) = 7, yang nilainya tetap sama tanpa memperhatikan nilai x. Dalam model pendapatan nasional, jika investasi (I) di tentukan secara eksogen , kita bisa mendapatkan fungsi investasi dalam bentuk I= S 100 juta, atau I=I ₀ yang menunjukan fungsi konstan.
b. Fungsi Polinom
Sebenernya fungsi konstan adalah “turunan” dari fungsi polinom. Kata polinom berarti “suku banyak” dan fungsi polinom dari variabel x mempunyai bentuk umum,
y = a₀ + a₁x + a₂x² + .... + an xⁿ
hal ini di dorong oleh dua pertimbangan : (1) kita daoat menghemat simbol , karena hanya menggunakan huruf a dalam kasus ini ; dan (2) subcript membantu menunjukan dengan tepat letak koefisen tertentu dalam seluruh persamaan.
c. Fungsi Rasional
Sebuah fungsi seperti y = x – 1
x ² + 2x + 4
dimana y dinyatakan sebagai perbandingan antara dua polinom dalam variabel x, disebut sebagai fungsi rasional (rational function). Menurut definisi ini, fungsi polinom apa pun harus merupakan fungsi rasional, karena selalu dapat dinyatakan sebagai perbandingan terhadap I , dan I merupakan fungsi konstan.
d. Fungsi Non Aljabar
Setiap fungsi yang dinyatakan dalam suku-suku fungsi polinom dan / atau akar-akar (seperti akar kuadrat) dari fungsi polinom adalah suatu fungsi aljabar. Dengan demikian, fungsi yang telah kita bahas adalah fungsi aljabar. Akan tetapi, fungsi eksponensial seperti
y = bx adalah fungsi nonaljabar karena variabel bebas merupakan eksponen.
Pada dasarnya Matematika ekonomi dan nonmatematika ekonomi tidak mempunyai perbedaan, namun dalam matematika ekonomi kesimpulan dinyatakan dalam symbol bukan kata – kata sedangkan nonmatematika banyak digunakan dalil – dalil matematis dalam suatu proses pembuatan. Manfaat dari matematika ekonomi yaitu dapat memberikan pengetahuan, wawasan dan kemampuan dalam memanfaatkan teori atau konsep matematika analisis. Memudahkan dalam menghitung indikator dan prediksi ekonomi dan mendorong kita untuk menyatakan asumsi – asumsi secara jelas.
Matematika Ekonomi Vs Ekonometrika
Secara sederhana matematika ekonomi dan ekonometrika yaitu didalam pengukuran data ekonomi, ekonomika berhubungan dengan pembahasan tentang observasi menggunakan estimasi dengan metode statistic dan pengujian hipotesis. Sedangkan matematika ekonomi membahas penerapan matematis pada aspek teoritis murni dari analisis ekonomi.
Model – Model Ekonomi
Unsur – Unsur dalam Model Matematis
Variabel, Konstanta dan Parameter
Variabel adalah sesuatu yang besarnya dapat berubah, misalnya sesuatu yang dapat menerima nilai yang berbeda. Variabel yang sering digunakan dalam ilmu ekonomi adalah harga, laba, pendapatan,biaya, pendapatan nasional, konsumsi,investasi, import, dan eksport. Kita dapat menyatakan harga dengan simbol P laba dengan , pendapatan dengan R, biayan dengan C, pendapatan nasional dengan Y dan seterusnya. Konstanta adalah besaran yang tidak berubah, sehingga merupakan lawan dari variabel. Jika semua konstanta digabung dengan variabel, maka angka itu sering disebut dengan koefisien variabel tersebut, koefisien lebih merupakan symbol ketimbang sebagai angka. Untuk mengidentikasi kedudukannya yang khusus kita beri nama tersendiri, yaitu konstanta parametric (parameter). Perlu ditekankan meskipun nilai yang berbeda pada suatu parameter, nilai itu dapat dinggap sebagai data dalam suatu model. Karena alasan inilai orang mudah menggunakan “konstanta” meskipun konstanta tersebut adalah parameter. Konstanta parametric biasanya dinyatakan dengan symbol a, b, c dalam abjad Yunani , , .
Persamaan dan Identitas
Dalam penerapan ekonomi dibedakan 3 macam persamaan yaitu persamaaan definisi (defininonal equation), persamaan perilaku (behafioral equation) dan persamaan bersyarat (conditional equitions).
Persamaan perilaku menunjukkan perilaku suatu variabel sebagai tanggapan terhadap perubahan variabel lainnya secara umum persamaan perilaku untuk menjelaskan lingkungan kelembangaan dari suatu model termasuk teknologi (misalnya fungsi produksi) dan aspek – aspek hukum (misalnya struktur pajak).
Perhatikan kedua fungsi biaya dibawah ini :
C = 75 + 10Q
C = 110 = Q2
Dimana Q menunjukkan jumlah output, kedua persamaan mempunyai bentuk yang berbeda, maka masing – masing kondisi produksi yang diasumsikan jelas berbeda.
Persamaan bentuk ketiga adalah persamaan yang menyatakan persyaratan yang harus dipenuhi misalnya, dalam model yang melibatkan konsep “ekuilibrium” yang menggambarkan persyaratan untuk pencapaian ekuilibrium. Dua syarat ekuilibrium yang paling terkenal dalam ilmu ekonomi adalah :
Qd = Qs jumlah yang diminta = jumlah yang ditawarkan
dan S = I tabungan yang diharapkan = investasi yang diharapkan
Yang masing – masing membahas ekuilibrium model pasar dan ekuilibrium model pendapatan nasional dalam bentuk yang paling sederhana. Demikian juga, suatu model optimasi akan mengambil atau menggunakan satu atau lebih syarat optimisasi.
Sistem Bilangan Nyata
Variabel – variabel dan persamaan – persamaan merupakan bahan yang penting untuk model matematika, karena nilai – nilai variabel yang digunakan umumnya merupakan angka. Seluruh bilangan seperti 1, 2, 3, . . . disebut bilangan bulat positif, lawannya -1, -2, -3, . . . . . . disebut bilangan bulat negatif. Dilain pihak, bilangan 0 (nol) bukan positif dan negative serta mempunyai arti tersendiri, gabungan seluruh bilangan bulat positif, negative dan 0 kedalam satu golongan yaitu himpunan seluruh bilangan bulat.bilangan bulat tidak menampung semua bilangan, misalnya untuk pecahan 2/3 , 5/4 dan 7/3. Bilangan – bilangan pecahan juga terdapat bilangan pecahan negative, seperti -1/2 dan -2/5 bilangan pecahan ditunjukkan sebagai perbandingan bilangan ini dikelompokkan menjadi himpunan seluruh pecahan. Ciri lain dari bilangan rasional adalah bahwa bilangan itu dapat ditunjukkan sebagai bilangan decimal. Sedangkan bilangan irasional adalah bilangan – bilangan yang tidak dapat ditunjukkan sebagai perbandingan dua bilangan bulat, bilangan decimal tidak berulang dan tidak berakhir ciri dari seluruh bilangan irasional.
Konsep Himpunan
Penulisan Himpunan
Objek – objek dalam suatu himpunan disebut elemen – elemen himpunan ada dua cara lain untuk menulis suatu himpunan yaitu menyebutkan satu persatu S = 2, 3, 4} diartikan S mewakili himpunan ari 3 bialangan 2, 3, an 4 dan dengan gambaran (deskriptif). I = x x bilangan bulat positif } I adalah himpunan seluruh (bilangan – bilangan ) x, demikian rupa sehingga x merupakan bilangan bulat positif. Himpunan seluruh bilangan nyata yang lebih besar dari dua tetapi lebih kecil dari lima (katakanlah J ) dapat dinyatakan dengan symbol J = x 2 x kurang dari 5} Suatu himpunan dengan elemen – elemen bilangan hingga, yang ditunjukkan oleh himpunan s diatas, disebut dengan himpunan hingga (finiteset).
Hubungan dan Fungsi
pembahasan kita mengenai himpunan di dorong oleh penggunaan istilah dalam hubungannya dengan berbagai jenis bilangan dalam sistem bilangan. Pada bagian ini, kita akan membahas mengenai himpunan “pasangan orde” (ordered pairs) yang akan didefinisikan berikut ini yang merupakan konsep penting dalam hubungan dan fungsi.
1. Pasangan Orde
Dalam penulisan suatu himpunan {a,b}, kita tidak perlu menghiraukan orde elemen a dan b, karena menurut definisi {a,b} = {b,a} . pasangan elemen a dan b hal ini merupakan “pasangan tidak orde”. Akan tetapi, jika orde a dan b mempunyai arti, maka kita bisa menulis dalam dua cara pasangan orde yang berbeda, yakni (a,b) dan (b,a), yang berarti (a,b) ≠(b,a) kecuali a=b , pasangan orde , lipat tiga,dan seterusnya yang berurutan secara keseluruhan disebut himpunan orde .
Untuk memperluas pandangan ini, kita juga dapat mendefinisikan hasil-hasil cartesius dari tiga himpunan x,y, dan z seperti berikut ini x x y x z = {(a,b,c) I a £ x, b £ y, c £ z } yang merupakan himpunan orde lipat tiga . selanjutnya, bila himpunan x,y, dan z masing-masing terdiri dari bilangan nyata , hasil kali cartesius akan daat disamakan dengan himpunan seluruh titik-titik dalam ruang tiga dimensi .
2. Hubungan dan Fungsi
Karena setiap pasangan orde menghubungkan nilai y dengan nilai x, maka setiap kumpulan pasangan orde yaitu setiap himpunan bagian hasil kali cartesius (2.3) akan merupakan hubungan di antara y dan x. Dengan nilai x tertentu ,satu atau lebih nilai y akan di tentukan oleh hubungan nilai x tersebut. Dengan kata lain, lebih dari satu nilai x dapat dihubungkan oleh nilai y yang sama. dalam pernyataan y = f (x), penulisan fungsi f dapat di artikan sebagai suatu aturan dimana himpunan x dipetakan (ditransformasikan) kedalam himpunan Y. Karena f menunjukan aturan khusus dalam pemetaan. Dalam fungsi y = f(x) , x merupakan penjelasan ( argumen ) dari fungsi, dan y merupakan nilai dari fungsi tersebut. Alternatif lain adalah x sebagai variabel bebas ( independent variable ) dan y sebagai variabel tidak bebas ( dependent variable ).
Tipe-tipe Fungsi
Ekpresi y = f (x) adalah pernyataan umum sehingga memungkinkan untuk dipetakan atau digambarkan, tetapi sebenarnya aturan untuk memetakan tidaklah begitu jelas.
a. Fungsi Konstan
suatu fungsi yang “range” nya (kisarannya) hanya terdiri dari satu elemen disebut fungsi konstan. Sebagai contoh y = f (x) = 7
menyatakan bahwa y = 7 atau y = f(x) = 7, yang nilainya tetap sama tanpa memperhatikan nilai x. Dalam model pendapatan nasional, jika investasi (I) di tentukan secara eksogen , kita bisa mendapatkan fungsi investasi dalam bentuk I= S 100 juta, atau I=I ₀ yang menunjukan fungsi konstan.
b. Fungsi Polinom
Sebenernya fungsi konstan adalah “turunan” dari fungsi polinom. Kata polinom berarti “suku banyak” dan fungsi polinom dari variabel x mempunyai bentuk umum,
y = a₀ + a₁x + a₂x² + .... + an xⁿ
hal ini di dorong oleh dua pertimbangan : (1) kita daoat menghemat simbol , karena hanya menggunakan huruf a dalam kasus ini ; dan (2) subcript membantu menunjukan dengan tepat letak koefisen tertentu dalam seluruh persamaan.
c. Fungsi Rasional
Sebuah fungsi seperti y = x – 1
x ² + 2x + 4
dimana y dinyatakan sebagai perbandingan antara dua polinom dalam variabel x, disebut sebagai fungsi rasional (rational function). Menurut definisi ini, fungsi polinom apa pun harus merupakan fungsi rasional, karena selalu dapat dinyatakan sebagai perbandingan terhadap I , dan I merupakan fungsi konstan.
d. Fungsi Non Aljabar
Setiap fungsi yang dinyatakan dalam suku-suku fungsi polinom dan / atau akar-akar (seperti akar kuadrat) dari fungsi polinom adalah suatu fungsi aljabar. Dengan demikian, fungsi yang telah kita bahas adalah fungsi aljabar. Akan tetapi, fungsi eksponensial seperti
y = bx adalah fungsi nonaljabar karena variabel bebas merupakan eksponen.
Sumber : A. Sinta P.
Editor : Admin Coretan Mahasiswa